一、收入與債務的問題
　　目前，歐債美債危機使大家對經濟的發(fā)展前景十分擔憂。一個國家債務過多，其所需支付的利息超過了該國的國民收入時，該國會出現破產。那么持續(xù)財政赤字的國家會出現破產這個現象嗎？國民收入與國家債務問題能否轉化為微分方程去進行分析呢？當然可以。利用微分方程可以很好地體現一個國家的國民收入與其債務問題。
　　令D（t）表示國債在時刻t的美元價值，Y（t）表示時刻t國民收入。假定所有變量都以實際美元標價，從而去掉通貨膨脹因素。同時假定赤字（定義為一個等于支出減去收入的正值）為任何時點國民收入的常數比例。由于債務變化恰好是赤字，則有
　　D=by,b>0（一般，許多國家的b值 介于0.02和0.08之間，這意味著赤字大約相當于國民收入的2%~8%）
　　同時進一步假定，國民收入隨時間的增長滿足如下微分方程：
　　Y=gY g為正常數（表示國民收入的增長率）。
　　上述兩個方程一起構成了國債積累模型。為了分析該模型所蘊含的利息支付與國民收入長期比值之間的關系，我們需要求解這兩個方程。該方程可以重新改寫成積分可得
　　Y（t）=C1egt
　　我們假定利息率為常數r，計算利息支付（rD（t））和國民收入（Y（t））的比值：
　　定義z（t）=rD（t）/Y（t）為償付國債利息所吸收的國民收入份額，化簡可得z（t）=re-gt+r（1-e-gt）
　　z（t）即利息支付與國民收入的比值，隨著t→∞收斂到一個有限值。為了驗明這一點，對式子右邊的兩項取t→∞時的極限。注意e-gt隨著t→∞而趨于零。則有：國債的利息支付收斂到國民收入的一個固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直實行不斷增長的國民收入的固定比例的預算赤字，最終的債務負擔也會收斂到國民收入的一個固定份額。這會是一個好消息，因為這意味著經濟總是能夠滿足債務的償付，破產永遠都不會發(fā)生。另一方面，如果rb/g＞1，那么這一過程就會收斂到一個利息支付超過國民收入的有限值，筆耕文化推薦期刊，此時，如果預算赤字持續(xù)下去，那么經濟將注定會破產。
　　二、邏輯斯諦方程
　　利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經濟問題，例如新產品在市場中的發(fā)展。根據邏輯斯諦方程可以建立一個新產品的推廣模型。例如：某種新產品問世，t時刻的銷量為f（t），由于產品屬于新型產品，沒有可替代的產品，因此t時刻產品銷售量的增長率與f（x）成正比。同時，產品的銷售量存在著一定的市場容量N，統(tǒng)計表明，與尚未購買的此新產品的潛在客戶數量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合邏輯斯諦方程的模型， 于是有通解：
　　=kx（N-x）
　　其中k為比例系數，分離變量積分， 可以解得x（t）=
　　由=,=
　　當x（t*）0,即銷量x（t）單調增加。 當x（t*）=時，=0;當x（t*）>時， <0;當x（t*）<時，>0，即當銷售量大于需求量的一半時，產品最暢銷。當銷售不足一半時，銷售速度將不斷的增大。同理，銷售量達到一半時，銷售速度則不斷減少。
　　許多產品的銷售曲線都和邏輯斯諦方程曲線十分的相近。所以，分析家認為，當產品推出的初期應小批量生產；當產品用戶在20％－80％之間時，產品應該大批量的生產；但當產品的用戶超過80％時，企業(yè)應該研發(fā)新的產品。

 

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