自二十世紀中葉以后,分數(shù)階導數(shù)在機械、圖像處理、力學等領域迅速發(fā)展.但其核函數(shù)固定,不能根據(jù)實際自由選擇,而且量值會隨時間的增長而增大,從而導致刻畫失效,這是其固有缺陷,從而發(fā)展了記憶依賴型導數(shù),現(xiàn)已應用于粘彈性等領域.相比于分數(shù)階導數(shù),后者的定義形式更能刻畫記憶效應,核函數(shù)也可以根據(jù)實際情況進行選擇,由其構成的微分方程也更具表現(xiàn)力.本文利用記憶依賴型導數(shù)進行建模并展開數(shù)值研究.本文結合經(jīng)典的弦振動方程和熱傳導方程,將其中的關于時間的變化率替換為二階的記憶依賴型導數(shù),建立記憶依賴型偏微分方程.隨后研究關于此方程構成的初-邊值問題的解的性態(tài),并討論核函數(shù)、擴散系數(shù)和時滯等因素對解的性態(tài)的影響.最后討論了新問題與經(jīng)典弦振動方程、熱傳導方程及分數(shù)階偏微分方程的解的異同.結果顯示:本文提出的新問題的解既有衰減性,又有波動性.解的性態(tài)受到核函數(shù)、擴散系數(shù)和時滯的影響,振幅隨擴散系數(shù)和時滯的增加而降低.不同核函數(shù)下解的性態(tài)也有所不同.新問題解的性態(tài)介于經(jīng)典弦振動方程和熱傳導方程之間,振幅衰減速度慢于熱傳導方程,振幅遠大于后兩者的振幅.與分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解相比,其解的衰減速度更緩慢且波動性更明顯....

【文章頁數(shù)】：58 頁

【學位級別】：碩士

【文章目錄】：
摘要
abstract
第1章 緒論
    1.1 課題研究的背景、意義及目的
    1.2 國內外研究現(xiàn)狀
        1.2.1 分數(shù)階偏微分方程研究現(xiàn)狀
        1.2.2 記憶依賴型偏微分方程研究現(xiàn)狀
    1.3 本文主要內容與章節(jié)安排
    1.4 一些常用符號及說明
第2章 幾類導數(shù)及其相互關系
    2.1 導數(shù)、偏導數(shù)及三種常用的分數(shù)階導數(shù)
        2.1.1 導數(shù)與偏導數(shù)
        2.1.2 三種常用的分數(shù)階導數(shù)
    2.2 記憶依賴型導數(shù)
        2.2.1 記憶依賴型導數(shù)
        2.2.2 記憶依賴型導數(shù)與導數(shù)的關系
        2.2.3 記憶依賴型導數(shù)與分數(shù)階導數(shù)的關系
第3章 記憶依賴型偏微分方程數(shù)值解研究
    3.1 記憶依賴型偏微分方程
    3.2 不同因素對解的影響
        3.2.1 核函數(shù)對解的影響
        3.2.2 擴散系數(shù)對解的影響
        3.2.3 時滯對解的影響
    3.3 與經(jīng)典的熱傳導方程及弦振動方程的比較
    3.4 與分數(shù)階偏微分方程對比
    3.5 本章小結
第4章 記憶依賴型熱傳導模型的建立及其數(shù)值研究
    4.1 建模背景
    4.2 記憶依賴型熱傳導模型建立
    4.3 數(shù)值模擬
        4.3.1 新模型的初-邊值問題
        4.3.2 與經(jīng)典的熱傳導方程比較
        4.3.3 核函數(shù)對新模型的影響
    4.4 本章小結
總結與展望
參考文獻
攻讀碩士學位期間發(fā)表的學術論文及科研工作
致謝



本文編號：4049704